怎樣構(gòu)建數(shù)學模型

一．創(chuàng)設情景

(資料圖片)

史寧中教授認為“模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑”。它鮮明地表述了這樣的意義：建立模型思想的本質(zhì)就是使學生體會和理解數(shù)學與外部世界的聯(lián)系。

“20 世紀中葉以來，數(shù)學自身發(fā)生了巨大的變化，特別是與計算機的結(jié)合，使得數(shù)學在研究領域、 研究方式和應用范圍等方面得到了空前的拓展。數(shù)學可以幫助人們更好地探求客觀世界的規(guī)律，并對現(xiàn)代社會中大量紛繁復雜的信息作出恰當?shù)倪x擇與判斷，同時為人們交流信息提供了一種有效、簡捷的手段。數(shù)學作為一種普遍適用的技術，有助于人們收集、整理、描述信息，建立數(shù)學模型，進而解決問題。因此，在修訂版課標思想指導下，應用題教學已經(jīng)不能僅僅局限于課本例題的教學，教師應該與時俱進，著眼于社會生活中豐富多彩的.內(nèi)容，根據(jù)需要選取素材， 使應用題的教學內(nèi)容與社會生活緊密聯(lián)系，賦予應用題教學鮮活的生命力，然后教師應該用教材教，而不能死板的教教材，只有這樣才能使學生更好的關注社會生活， 更好的體驗數(shù)學與生活的密切聯(lián)系。選取生活中的素材進行創(chuàng)造，可以使應用題的教學更富情趣，有利于學生情商的培養(yǎng)、興趣的激發(fā)，減少學生對應用題的畏懼心理。如，劉雯老師執(zhí)教《相遇問題》時，先用媒體播放王明和李華上學的動畫情景（王明和李華分別住在學校的兩側(cè)，兩人同時從家出發(fā)，相對而行，經(jīng)過5分鐘兩人同時到達學校。），誘發(fā)學生觀察兩物體的運動過程，尋找新知學習的切入點——喚起相遇問題的生活經(jīng)驗。接著教師與學生聯(lián)手，現(xiàn)場模擬表演（王明與李華運動情況），引導學生用上“兩個物體”、“兩個地方、”“同時出發(fā)”、 “相對而行”、“最后相遇”這幾個關鍵詞描述他們的運動過程。這樣，從學生熟悉的生活實例入手創(chuàng)設問題情境，采用模擬表演、打手勢等直觀生動的演示方式描述王明和李華的運動過程，激發(fā)了學生數(shù)學學習興趣，調(diào)動學生積極主動地投入到探究學習活動中去，引導學生理解“同時出發(fā)”、“相對而行”、“最后相遇”等關鍵詞的含義，掌握相遇問題的基本特征，初步建立相遇問題的模型雛形，為建立數(shù)學模型做好準備。

二．構(gòu)建模型

修訂版義務教育階段數(shù)學課程標準，其基本出發(fā)點是促進學生全面、持續(xù)、和諧地發(fā)展。它不僅考慮到數(shù)學自身的特點，還關注學生學習數(shù)學的心理規(guī)律，強調(diào)從學生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展。因此，在情景創(chuàng)設之后，教師的一般做法是引導學生親歷應用題模型的構(gòu)建過程，賦予應用題鮮活的生命力，使學生潤物細無地漸入學習佳境。如，劉雯老師“相遇問題”這節(jié)課，一是先構(gòu)建“圖形模型”。教師放手讓學生運用已有的知識基礎、方法策略和活動經(jīng)驗，用自己喜歡的方法對問題情境中相關聯(lián)的信息加以梳理（如，圖畫、圖表等）。幫助學生直觀形象地理清信息與信息之間、信息與問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，為有效解決問題做好鋪墊；接著，對各種解題策略進行分析，比較各種方法的異同，突出畫線段圖整理信息的優(yōu)越性和必要性；最后在“自主整理——組內(nèi)交流——展示匯報——分析比較——提煉升華”等一系列活動中，引導學生獲得解決問題的策略，積累解決問題的經(jīng)驗，提高解決問題的能力。二是構(gòu)建“算式模型”。在學生自主整理信息，理清數(shù)量關系，明確解題思路，探究計算方法的基礎上，學生獨立列式解答，建構(gòu)起了相遇問題的算式模型。三是構(gòu)建“數(shù)量關系模型”。引導學生對分析解決問題的過程進行觀察與比較、分析與綜合、抽象與概括，煉出相遇模型背后所蘊含著的結(jié)構(gòu)性關系，并運用形式化的數(shù)學符號刻畫出這種數(shù)學結(jié)構(gòu)——“速度和×時間=總速度”，從而建立相遇問題的基本模型。

三．解釋與應用模型

分析解答應用題的過程，就是解釋與應用模型的過程。在小學低年級一般運用綜合法解答，到中高年級則需要分析法和綜合法的分別使用或者并用，在解釋與應用模型這一環(huán)節(jié)中，一般經(jīng)過“理解題意、分析數(shù)量關系、列式計算、驗算寫答案”四個步驟。設置習題時要注意，一是要進一步創(chuàng)設問題情景，凸顯數(shù)學化過程；二是要循序漸進，有梯度；三是要具有啟發(fā)性、趣味性和拓展性，讓學生樂于解決實際問題，在解決實際問題過程中體驗成功的喜悅，培養(yǎng)應用意識，使學生的情商得以培養(yǎng)。如，劉雯老師“相遇問題”這節(jié)課，設計了“基本練習、變式練習和拓展練習”三個層次的、并帶有現(xiàn)實背景的練習，對相遇問題進行解釋與應用。使學生在生活化內(nèi)容和數(shù)學化探索中，獲得知識、方法與數(shù)學活動經(jīng)驗。

總之，數(shù)學建模就是通過建立模型的方法來求得問題解決的數(shù)學活動過程。這一過程的步驟可用如下流程來體現(xiàn)：

觀察實際情境→發(fā)現(xiàn)提出問題→抽象成數(shù)學模型→得到數(shù)學結(jié)果。

首先是“從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象數(shù)學問題”。這說明發(fā)現(xiàn)和提出問題是數(shù)學建模的起點。然后“用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律”。在這一步中，學生要通過觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等等數(shù)學活動，完成模式抽象，得到模型。這是建模最重要的一個環(huán)節(jié)。最后，通過模型去求出結(jié)果，并用此結(jié)果去解釋、討論它在現(xiàn)實問題中的意義。顯然，數(shù)學建模過程可以使學生在多方面得到培養(yǎng)而不只是知識、技能，更有思想、方法，也有經(jīng)驗積累，其情感態(tài)度（如興趣、自信心、科學態(tài)度等）的培養(yǎng)也會得以落實。