勾股定理的多種證明方法

(資料圖)

勾股定理是數(shù)學(xué)史上一個偉大的定理,同時也是一個歷史悠久的定理，如何證明勾股定理呢？勾股定理證明方法有哪些呢?下面是的勾股定理證明方法資料，歡迎閱讀。

勾股定理的種證明方法(部分)

【證法1】(梅文鼎證明)

做四個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b ，斜邊長為c. 把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上. 過C作AC的延長線交DF于點(diǎn)P.

∵ D、E、F在一條直線上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

∴ ∠EGF = ∠BED，

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BEG =180o―90o= 90o.

又∵ AB = BE = EG = GA = c，

∴ ABEG是一個邊長為c的正方形.

∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o.

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o.

即 ∠CBD= 90o.

又∵ ∠BDE = 90o，∠BCP = 90o，

BC = BD = a.

∴ BDPC是一個邊長為a的正方形.

同理，HPFG是一個邊長為b的正方形.

設(shè)多邊形GHCBE的面積為S，則

,

∴ .

【證法2】(項(xiàng)明達(dá)證明)

做兩個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b(b>a) ，斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點(diǎn)在一條直線上.

過點(diǎn)Q作QP‖BC，交AC于點(diǎn)P.

過點(diǎn)B作BM⊥PQ，垂足為M;再過點(diǎn)

F作FN⊥PQ，垂足為N.

∵ ∠BCA = 90o，QP‖BC，

∴ ∠MPC = 90o，

∵ BM⊥PQ，

∴ ∠BMP = 90o，

∴ BCPM是一個矩形，即∠MBC = 90o.

∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o，

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o，

∴ ∠QBM = ∠ABC，

又∵ ∠BMP = 90o，∠BCA = 90o，BQ = BA = c，

∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

同理可證RtΔQNF ≌ RtΔAEF.

【證法3】(趙浩杰證明)

做兩個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b(b>a) ，斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的`多邊形.

分別以CF，AE為邊長做正方形FCJI和AEIG，

∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，

∴FI=a，

∴G,I,J在同一直線上，

∵CJ=CF=a，CB=CD=c，

∠CJB = ∠CFD = 90o，

∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，

同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，

∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE

∴∠ABG = ∠BCJ,

∵∠BCJ +∠CBJ= 90o,

∴∠ABG +∠CBJ= 90o,

∵∠ABC= 90o,

∴G,B,I,J在同一直線上，

【證法4】(歐幾里得證明)

做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)

BF、CD. 過C作CL⊥DE，

交AB于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)

L.

∵ AF = AC，AB = AD，

∠FAB = ∠GAD，

∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，

∵ ΔFAB的面積等于，

ΔGAD的面積等于矩形ADLM

的面積的一半，

∴ 矩形ADLM的面積 =.

同理可證，矩形MLEB的面積 =.

∵ 正方形ADEB的面積

= 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積

∴ ，即 .

勾股定理的多種證明方法

畢達(dá)哥拉斯證法：

一、傳說中畢達(dá)哥拉斯的證法(圖1)

左邊的正方形是由1個邊長為的正方形和1個邊長為的正方形以及4個直角邊分別為a、b，斜邊為c的直角三角形拼成的。右邊的正方形是由1個邊長為的正方形和4個直角邊分別為a、b，斜邊c為的直角三角形拼成的。因?yàn)檫@兩個正方形的面積相等(邊長都是a+b)，所以可以列出等式a2+b2+4×1/2ab=c2+4×1/2ab，化簡得a2+b2=c2。

在西方，人們認(rèn)為是畢達(dá)哥拉斯最早發(fā)現(xiàn)并證明這一定理的，但遺憾的是，他的證明方法已經(jīng)失傳，這是傳說中的證明方法，這種證明方法簡單、直觀、易懂。

二、趙爽弦圖的證法

第一種方法：邊長為的正方形可以看作是由4個直角邊分別為a、b，斜邊為c 的直角三角形圍在外面形成的。因?yàn)檫呴L為的正方形面積加上4個直角三角形的面積等于外圍正方形的面積，所以可以列出等式c2+4×1/2ab=(a+b)2，化簡得a2+b2=c2。

第二種方法：邊長為的正方形可以看作是由4個直角邊分別為a、b，斜邊為 c的直角三角形拼接形成的(虛線表示)，不過中間缺出一個邊長為(b-a)的正方形“小洞”。

因?yàn)檫呴L為c的正方形面積等于4個直角三角形的面積加上正方形“小洞”的面積，所以可以列出等式c2=(b-a)2+4×1/2ab，化簡得a2+b2=c2。

這種證明方法很簡明，很直觀，它表現(xiàn)了我國古代數(shù)學(xué)家趙爽高超的證題思想和對數(shù)學(xué)的鉆研精神，是我們中華民族的驕傲。

三、美國第20任總統(tǒng)茄菲爾德的證法

這個直角梯形是由2個直角邊分別為a、b，斜邊為c 的直角三角形和1個直角邊為c

的等腰直角三角形拼成的。因?yàn)?個直角三角形的面積之和等于梯形的面積，所以可以列出等式c2/2+2×1/2ab=(b+a)(a+b)/2，化簡得a2+b2=c2。

這種證明方法由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明更加簡潔，它在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話。

勾股定理：勾股定理是一個基本的幾何定理，在中國，《周髀算經(jīng)》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發(fā)現(xiàn)，故又有稱之為商高定理;三國時代的蔣銘祖對《蔣銘祖算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋，又給出了另外一個證明。直角三角形兩直角邊(即“勾”，“股”)邊長平方和等于斜邊(即“弦”)邊長的平方。也就是說，設(shè)直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那么a2+b2=c2。勾股定理現(xiàn)發(fā)現(xiàn)約有400種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。勾股數(shù)是組成a2+b2=c2的正整數(shù)組(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股數(shù)。 目前初二學(xué)生教材的證明方法采用趙爽弦圖，證明使用青朱出入圖。勾股定理是一個基本的幾何定理，它是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果用a、b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2+b2=c2。